第五届 Xionger 网络数学竞赛试卷非数学组

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1. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
(1) 计算

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x \sin (x \sin (x \sin \dots))) d x .

(2) 计算

lim_{n \to \infty} \sum_{k = - n}^{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{k}{n (n + i)} \cdot \sin \frac{1}{n} \cdot \arctan \frac{i}{n} \cdot \ln (1 + e^{\frac{k}{n}}) .

(3) 设

R^{4}

中的方体

Q = {(x, y, φ, θ) | 0 \leq x, y, φ, θ \leq π}

,求

⨌_{Q} \frac{\sin x \sin φ}{x φ} d x d y d φ d θ .

(4) 求

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (Γ (\frac{1 - \cos 2 x}{2}) \sqrt{\sin (π \sin^{2} x)}) d x .

2. (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
设

m \in R^{+},

u (x) = \int_{x}^{x + 1} \ln Γ (t) d t - (m - 1) (x - 1) + \frac{1}{2} \ln (\frac{e^{2}}{2 π})

在

R^{+}

上存在唯一不变号零点. 函数

R (x) = \int_{x}^{x + 1} \ln Γ (t) d t - \ln (x + 1) + x x \in (0, 1)

设

p, q

都是不超过 10 的正整数,

p \neq q

, 求所有的有序对

(p, q)

, 满足

R (x) > \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{e}} - \ln \frac{| p - q |}{\sqrt{2 π} \cdot m^{p - q}} .

在区间 (0,1) 恒成立.

3. (屋寒大学, Baire 供题)
(1) 设

f (x)

是

R \to R

的函数, 若

\ln f (x)

是凸 (凹) 函数, 则称

f

是对数-凸 (对数-凹) 的, 证明: Gamma 函数

Γ (x) = \int_{0}^{+ \infty} t^{x - 1} e^{- t} d t

在

(0, + \infty)

上是对数-凸的.
(2) 证明 Gautschi's 不等式

x^{1 - s} < \frac{Γ (s + 1)}{Γ (x + s)} < (x + 1)^{1 - s}

x > 0, 0 < s < 1.

(3) 设

α > 0

, 研究级数

\sum \frac{n!}{\prod_{k = 1}^{n} (α + k)}

的敛散性.

4. (屋寒大学, Baire 供题)
设

f

为

R^{n}

上的

C^{2}

映射.

J f (x)

为 Jacobi 矩阵, 它的元素为

\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} (x), i, j = 1, 2, \dots, n

. 在 Jacobi 行列式

\det (J f (x))

中对应的代数余子式为

A_{i j} (x), i, j = 1, 2, \dots, n

. 证明如下的 Hadamard 恒等式:

\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial A_{i j}}{\partial x_{i}} (x) = 0, j = 1, 2, \dots, n .

5. (屋寒大学, Baire 供题) 设

f

在

[0, 1]

上

n

阶连续可微,

f (\frac{1}{2}) = 0, f^{(i)} (\frac{1}{2}) = 0, i = 1, 2, \dots, n

. 证明

{(\int_{0}^{1} f (x) d x)}^{2} \leq \frac{1}{(2 n + 1) 4^{n} (n!)^{2}} \int_{0}^{1} {(f^{(n)} (x))}^{2} d x .

6. (湖州师范学院, 阿渣供题)
求所有满足下述条件的实数

a \in R :

存在可微函数

f : R \to (0, \infty)

使得

f^{'} (x) = f (x + a), \forall x \in R .

7. (湖州师范学院, 阿渣供题)
设

{(a_{n})}_{n \geq 1}

和

{(b_{n})}_{n \geq 1}

是正实数列, 且满足

lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1} - a_{n}}{n} = a \in R_{> 0}, lim_{n \to \infty} \frac{b_{n + 1}}{n b_{n}} = b \in R_{> 0} .

计算

lim_{n \to \infty} (\frac{a_{n + 1}}{\sqrt[n + 1]{b_{n + 1}}} - \frac{a_{n}}{\sqrt[n]{b_{n}}})

8. (家里蹲大学, Dylen 供题)
试证明:

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_{0}^{n} | \sin (π x) |^{x} d x = \sqrt{\frac{8}{π}} .

9. (云南大学, Ulyanov Aleksandr 供题)
Let

n

be any positive integer. Show that

\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \cos (n θ - 2 \sin θ) d θ = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k}}{k! (n + k)!}

10. (兰州大学, 按定义易证供题)
定义一个 Fibonacci 数列, 满足

F_{1} = 1, F_{2} = 1, F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}, \forall n \geq 3

. 对每一个固定的

k \geq 1, k \in N^{+}

, 定义一个新的数列

{\frac{F_{m_{0} + n k}}{F_{m_{0} + (n + 1) k}}}_{n = 0}^{+ \infty} (m_{0} = 0, 1, \dots, k - 1)

. 证明: 这个新的数列收敛, 并求出收敛的极限.

11. 非数学专业组: 特别附加题【童年回忆之神秘湖探险】 (曲阜师范大学, Alina Lagrange 供题)
神秘湖坐落于阳光牧场的西南方, 前往神秘湖的码头, 南部尽头就是阳光海滩.
(I) 神秘湖近日遭受了暴雨的袭击, 神秘湖码头的道路上积水已经达到一米, 甚至有湖里的鱼儿游上岸来. 为了尽可能快排水, 城堡大厅的洛克行政官决心紧急调用5台抽水机, 去神秘湖码头抽水. 设抽水机抽水管横截面

S

是一个半径为

R

的圆形,

S = {(x, y) | x^{2} + y^{2} \leq R^{2}}

. 平面不可压缩定常水流由速度向量

V = x u (x . y) i + y u (x, y) j

其中

u (x, y)

满足

{\begin{cases} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = v (x, y) \forall (x, y) \in R^{2} \\ | u (x, y) | \leq 2 + \arctan (x^{2} + y^{2}) \forall (x, y) \in R^{2} \\ u (0, 0) = 2 \\ | v (x, y) | \leq \frac{\ln (1 + x^{4} + y^{4})}{\ln (2 + x^{2} + y^{2})} \forall (x, y) \in R^{2} \\ v (0, 0) = 0 \\ \frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}} = v (x, y) \forall (x, y) \in R^{2} \end{cases}

求经过区域

S

边界

\partial S

流出的水流体的量

M

(II) 暴雨过后的第二天, 黄昏, 摩乐乐、丫丽、布多多、布少少一行四人在神秘湖旁边散步. 忽然, 他们在沙滩上发现了一个奇怪的沙画, 只见上面写着

e^{i π} + 1 = 0.

(1) 布少少表示他不明白这是什么东西, 丫丽解释说

i

是虚数单位, 可以使用

e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ, θ \in R

来得到沙画的式子.

第二天夜晚, 众人再次齐聚神秘湖岸边. 摩乐乐表示他回忆起 Fourier 级数表达式

f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos n x + b_{n} \sin n x) x \in (- π, π)

其中

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \cos n x d x

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) \sin n x d x

他认为这可以写成

f (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} A_{n} e^{i n x}

其中

A_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- i n x} d x

请你证明摩乐乐想法的合理性.

(2) 历经几个晚上的互相交流讨论以及证明推理，他们每一个人都得出了小结论. 请你通过证明判断这些结论是否正确.
布少少:

\sum_{- N \leq n \leq N} e^{i n t} = \frac{\sin (N + \frac{1}{2}) t}{\sin \frac{t}{2}}

布多多:

\frac{1}{N} \sum_{m = 0}^{N - 1} \sum_{- m \leq n \leq m} e^{i n t} = \frac{1}{N} \frac{\sin^{2} \frac{N t}{2}}{\sin^{2} \frac{t}{2}}

摩乐乐:

\sum_{- N \leq n \leq N} sign (n) e^{i n t} = \frac{\sin (N + \frac{1}{2}) t}{\sin \frac{t}{2}}

丫丽: 假设黎曼可积函数

f

有 Fourier 级数

f (x) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} a_{n} e^{i n x}

并且

a_{n}

满足

| n a_{n} | \leq C C > 0

则对任意正整数

N

均有

| \sum_{| n | \leq N} a_{n} e^{i n x} | \leq sup | f | + (2 - \ln (N + 2) + \ln (N + 1)) C

其中

sup | f |

表示

| f |

的最大值.

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